级数收敛的必要条件（如何理解级数的性质）

01 引言

级数的本质为无穷项数列之和。联系这样的本质可以理解和掌握级数的性质。

02 无穷项级数性质的理解

如级数的每一项都乘以不为零的常数，级数的敛散性不变。假设级数所有项之和为S，如给每一项都乘以不为0的常数后，所有项之和中的常数可以提出来，从而新级数的所有项之和为s再乘以该常数，也就是级数是收敛的。反之，如级数所以项之和为无穷大，那么级数的每一项乘以常数后，所有项的和仍为无穷大，从而级数发散。

由于级数为无穷项之和，所以改变有限项，不会影响级数的敛散性。由此可进一步理解删掉、改变或添加有限项不会影响级数的敛散性。

因为级数为无穷项之和。所以任意添加括号，只是改变了部分有限项不会影响级数的性质。

正因为级数为无穷项之和。所以如一级数第无穷项不为0，则假设前面各项都和第无穷项相等，则所有项之和仍为无穷大，从而级数发散。因此级数收敛的必要条件为其第无穷项为零，也就是第n项的极限为零。

由这样的性质可以推证出，p级数当p大于1时收敛，小于等于1时发散；还可证明出调和级数必发散的结论。

03 结论

由级数为无穷项之和的本质理解了相关的性质，说明数学学习上抓重点与本质的极端重要性。